ensayo

1)

Variable libre y ligada

La expresión a la cual el cuantificador se aplica es el dominio del cuantificador; y una ocurrencia de una variable individual x está ligada  si aparece como  o  o dentro del dominio de un o . Cualquier otro tipo de ocurrencia de una variable es una ocurrencia libre.

    Inductiva conjunto de VL(A) conjunto de variables libres de A.

1. Si A es atómica VL(A):= conjunto de todas las variables que aparecen en un A. 

2. Si A es ¬B entonces VL(A):= VL(B) 

3. Si A es (B*C) donde * es cualquier conectivo binario, entonces VL(A):= VL(B) U VL(C) 

4. Si A es B o B entonces VL(A):= VL(B) - {x}

    Si  es una proposición; sino es una forma proposicional.

Ejemplo. 1)

2) Equivalencias lógicas

Dos formas proposicionales P y Q se dicen lógicamente equivalentes, y se escribe P ≡ Q, si sus tablas de verdad coinciden.

Ejemplos:

1. Las dos sentencias siguientes son lógicamente equivalentes:

Si Lisa está en Francia, entonces ella está en Europa (en símbolos, {\displaystyle f\rightarrow e} {\displaystyle f\rightarrow e}).

Si Lisa no está en Europa, entonces ella no está en Francia (en símbolos, {\displaystyle \neg e\rightarrow \neg f} {\displaystyle \neg e\rightarrow \neg f}).

Sintácticamente, (1) y (2) son derivables cada una de la otra a través de la regla de contraposición y doble negación. Semánticamente, (1) y  (2) son verdaderas en exactamente los mismos modelos (interpretaciones, valuaciones); a saber, aquellos en que Lisa está en Francia es falso o bien Lisa está en Europa es verdadero.

2. El programa está bien escrito y bien documentado.

El programa está bien documentado y bien escrito.

~ (p ∨ q) ≡~ p∧ ~ q

3.

3) Forma rectificada

F esta en forma rectificada si ninguna variable aparece libre y ligada y cada cuantificador se refiere a una variable diferente.
Ejemplo:

4)

En lógica de primer orden, una fórmula bien formada tiene forma normal prenexa si está escrita encabezada por una cadena de cuantificadores existenciales o universales, seguidos por una fórmula sin cuantificadores lógicos, designada como «matriz».

Toda fórmula es equivalente en lógica clásica a una fórmula en forma normal prenexa. Por ejemplo, si ${\displaystyle \phi (y)}$, ${\displaystyle \psi (z)}$, y ${\displaystyle \rho (x)}$ son fórmulas sin cuantificar con las variables libres mostradas, luego

${\displaystyle \forall x\exists y\forall z(\phi (y)\lor (\psi (z)\rightarrow \rho (x)))}$

está en forma normal prenexa, con la matriz ${\displaystyle \phi (y)\lor (\psi (z)\rightarrow \rho (x))}$, mientras que

${\displaystyle \forall x((\exists y\phi (y))\lor ((\exists z\psi (z))\rightarrow \rho (x)))}$

es lógicamente equivalente pero no en forma prenexa.

El término «prenexa» viene del latín praenexus, pasado participio de praenectere, que significa «atado» o «atado en el frente».¹

Cuando una fórmula en forma normal prenexa sólo posee cuantificadores universales, se dice que está en forma normal de Skolem. Toda fórmula en forma normal prenexa es lógicamente equivalente a una en forma normal de Skolem, y la manera de llegar de una a otra se denomina skolemización.

Ejemplos:

Supóngase que ${\displaystyle \phi }$, ${\displaystyle \psi }$, y ${\displaystyle \rho }$ son fórmulas sin cuantificar y no comparten variable libre alguna. Considerese la fórmula

${\displaystyle (\phi \lor \exists x\psi )\rightarrow \forall z\rho }$.

Aplicando recursivamente las reglas empezando por las subfórmulas internas, la siguiente secuencia de fórmulas lógicamente equivalentes pueden obtenerse:

${\displaystyle (\exists x(\phi \lor \psi ))\rightarrow \forall z\rho }$,

${\displaystyle \forall x((\phi \lor \psi )\rightarrow \forall z\rho )}$,

${\displaystyle \forall x(\forall z((\phi \lor \psi )\rightarrow \rho )))}$,

${\displaystyle \forall x\forall z((\phi \lor \psi )\rightarrow \rho )}$.

Esta no es la única forma prenexa equivalente a la fórmula original. Por ejemplo, abordando el consecuente antes que el anecedente en el ejemplo, la forma prenexa

${\displaystyle \forall z\forall x((\phi \lor \psi )\rightarrow \rho )}$

Puede ser obtenida:

${\displaystyle \forall z((\phi \lor \exists x\psi )\rightarrow \rho )}$

${\displaystyle \forall z((\exists x(\phi \lor \psi ))\rightarrow \rho )}$,

${\displaystyle \forall z(\forall x((\phi \lor \psi )\rightarrow \rho ))}$,

${\displaystyle \forall z\forall x((\phi \lor \psi )\rightarrow \rho )}$

ejercicios propuestos de proposicion

1) no toda persona tiene un hermano

h:hermano
p:persona
q:padre
m:madre

∃x∃y{q(x,p)∧m(y,p)∧-h(p)}

2)Julia es abuela de Ana

g:abuela
j:julia
a:ana

g(j,a)     ∃x{j(x,a)-> g(j,a)}

3)Ana tiene un unico hermano hombre

h:hombre
p:hermano
a:ana

∀x∀y{a(x,p)∧p(y,h)}

4)ana y ernesto son hermanos o medio hermanos
z:medio hermanos
A:ana
E:ernesto
p:padre
m:madre
q:padrastro
r:madrastra

h(a,b)
∃x∃y{p(x,a)∧m(y,a)∧p(x,e)∧m(y,e)}
∃x{a(y,x)∧e(x,y)V(a(y,q) ∧e(x,r)->h(x)Vz(x,y))}

5)Todo nuemro tiene un secesor

n:numero
s:sucesor

∀x{N(x,s)}

Formaliaciones

1)Todos los actores son famosos
D = los actores
F(-): - es famoso
∀xF(x)

2)algunos padres son responsables
D = los padres
R(-): - es responsable
∃xR(x)

3)Todos los miembros son padres o maestros
D = los miembros
P(-): - es padre
MA(-): - es maestro
∀x[P(x) ∨ MA(x)]

4)algunos polticos son incompetentes
 D = los polıticos
I(-): - es incompetente
C(-): - es corrupto
∃x[I(x) ∨ C(x)]

5) las manzanas y los platanos son nutritivos
D1 = las manzanas (x)
D2 = los platanos (y)
N(-): - es nutritivo
∀xN(x) ∧ ∀yN(y)

6)algunas frutas y verduras son nutritivas
D1 = las frutas (x)
D2 = las verduras (y)
N(-): - es nutritivo
∃xN(x) ∧ ∃yN(y)

7)si algo anda mal todos se quejan
D1 = las cosas (x)
D2 = las personas (y)
M(-): - anda mal
Q(-): - se queja
∃xM(x) −→ ∀yQ(y)

8)pedro es amigo de todos
D = las personas
A(-,-): - es amigo de -
∀xA(p, x)

9)algunos son amigos de pedro
D = las personas
A(-,-): - es amigo de -
∃xA(x, p)

10)Todos son amigos de todos
 D = las personas
A(-,-): - es amigo de -
∀x∀yA(x, y)

11)solo los ejecutivos llevan cartera
D = las personas
E(-): - es ejecutivo
C(-): - lleva cartera
∀x[C(x) −→ E(x)] ∀x[¬E(x) −→ ¬C(x)]

12)hay por lo menos una cosa que es humana y es mortal
D = las cosas
 H(-): - es humana
 M(-): - es mortal
∃x[H(x) ∧ M(x)]

sintaxis de logica de predicados

Los lenguajes formales, como el de la lógica proposicional, tienen un componente sintáctico y otro semántico. En esta lección veremos la sintaxis del lenguaje de la lógica proposicional. La sintaxis de la lógica proposicional está formada por una gramática y un alfabeto. El primero consta de símbolos, los cuales se dividen en tres categorías: signos lógicos, no lógicos y signos de puntuación. Estos últimos pueden ser prescindibles, los símbolos lógicos y los no lógicos son necesarios.

La gramática, por su parte consiste en un conjunto de reglas que nos permite generar fórmulas del lenguaje a partir de otras fórmulas. Para entender la noción de fórmula hemos de introducir previamente los símbolos del alfabeto del lenguaje de la lógica proposicional. Este consta de:

1. Letras proposicionales (símbolos no lógicos). No hay un número determinado. Para los fines de este curso de lógica, estipularemos las letras “p”, “q”, “r” y “s” como nuestras letras proposicionales.

2. Conectivas (símbolos lógicos). ̚ , →, ↔, ˄, ˅

3. Signos de puntuación. Paréntesis ( ).

De las conectivas, la primera se llama negación y es una conectiva monaria. El resto son conectivas binarias. A continuación veremos el nombre de cada una y cómo se leen.

“ ̚ “ se llama negación y se lee “no”

“→” se llama condicional y se lee “si…entonces”.

“↔” se llama bicondicional y se lee “si y solo si”.

“˄” se llama conjunción y se lee “y”.

“˅” se llama disyunción y se lee “o”.

Un alfabeto para un lenguaje de primer orden de tipo consiste de los siguientes símbolos: – Símbolos de relación: P1 , P2 , … , Pn , =‘ 
– Símbolos de función: f1 ,f2 ,… , fm
 – Símbolos de constantes: ci tal que i∈I y | I |= k
 – Variables: x1 , x2 , x3 ,.. 
– Conectivos : →, ↔, ¬, ∧, ∨, ⊥ 
– Cuantificadores: ∀, ∃ 
– Auxiliares : ( ) ,


Una FBF es una tautología si toma el valor de verdad bajo cada una de las posibles asignaciones de valores de verdad a las variables de enunciado que aparecen en ella.

 a una FBF en la que intervengan n variables de enunciado diferente (siendo n cualquier número natural) le corresponderá una función de verdad de n argumentos, y la tabla de verdad tendrá 2ⁿ filas, una para cada una de las posibles combinaciones de valores de verdad para las variables de enunciado. Nótese además que existen funciones de verdad distintas de n argumentos, que corresponden a las maneras posibles de disponer los 1’s y los 0’s en la última columna de una tabla de verdad de 2ⁿ filas. Esta claro que el número de formas enunciativas que se pueden construir utilizando n variables de enunciados es infinito, así que formas enunciativas distintas pueden corresponder a una misma función de verdad.

Las tautologías son lógicamente necesarias. Las contradicciones son lógicamente imposibles. Las contingencias son lógicamente posibles, pero se clasifican en: 
a) posibles o imposibles empíricamente y
b) posibles o imposibles técnicamente. Lo empíricamente imposible en el pasado puede llegar a ser posible en el futuro, dependiendo del desarrollo de la ciencia.

1. Todos los actores son famosos. 
a) D = las personas A(-): - es acto
r F(-): - es famoso
 ∀x[A(x) −→ F(x)] 
b) D = los actores
 F(-): - es famoso
 ∀xF(x) 

2. Algunos padres son responsables.
a) D = las personas 
P(-): - es padre
R(-): - es responsable 
∃x[P(x) ∧ R(x)] 
b) D = los padres
 R(-): - es responsable ∃xR(x) 

3. Todos los miembros son padres o son maestros. 
a) D = las personas 
M(-): - es miembro
P(-): - es padre 
MA(-): - es maestro 
∀x[M(x) −→ P(x) ∨ MA(x)]
b) D = los miembros 
P(-): - es padre 
MA(-): - es maestro 
∀x[P(x) ∨ MA(x)] 

4. Algunos polıticos son incompetentes o son corruptos. 1 
a) D = las personas
P(-): - es polıtico
I(-): - es incompetente 
C(-): - es corrupto 
∃x[P(x) ∧ (I(x) ∨ C(x))] 
∃x[(P(x) ∧ I(x)) ∨ (P(x) ∧ C(x))] 
∃x¬[P(x) −→ ¬(I(x) ∨ C(x))] 
b) D = los polıticos 
I(-): - es incompetente 
C(-): - es corrupto 
∃x[I(x) ∨ C(x)] 

5. Las manzanas y los platanos son nutritivos.
a) D = las frutas 
M(-): - es manzanza 
P(-): - es platano 
N(-): - es nutritivo 
∀x[M(x) ∨ P(x) −→ N(x)] 
∀x[(M(x) −→ N(x)) ∧ (P(x) −→ N(x))] 
b) D1 = las manzanas 
(x) D2 = los platanos
(y) N(-): - es nutritivo 
∀xN(x) ∧ ∀yN(y) 

6. Algunas frutas y verduras son nutritivas. 
a) D = los alimentos 
F(-): - es fruta 
V(-): - es verdura 
N(-): - es nutritivo 
∃x∃y[F(x) ∧ V (y) ∧ N(x) ∧ N(y)] 
∃x[F(x) ∧ N(x)] ∧ ∃x[V (x) ∧ N(x)] 
∃x[(F(x) ∨ V (x)) ∧ N(x)] 
b) D1 = las frutas 
(x) D2 = las verduras (y) N(-): - es nutritivo 
∃xN(x) ∧ ∃yN(y)

 7. Si algo anda mal, entonces todos se quejan. 
D1 = las cosas (x) 
D2 = las personas (y) 
M(-): - anda mal 2 
Q(-): - se queja 
∃xM(x) −→ ∀yQ(y) 

8. Luis es Guapo. 
D = las personas 
G(-): - es guapo G(l) 

9. a) Pedro es amigo de todos. 
b) Algunos son amigos de Pedro. 
c) Todos son amigos de todos. 
D = las personas 
A(-,-): - es amigo de -
 a) ∀xA(p, x) 
b) ∃xA(x, p) 
c) ∀x∀yA(x, y) 

10. Solo los ejecutivos llevan cartera. 
D = las personas 
E(-): - es ejecutivo 
C(-): - lleva cartera 
∀x[C(x) −→ E(x)] ∀x[¬E(x) −→ ¬C(x)]