Los lenguajes formales, como el de la lógica proposicional, tienen un componente sintáctico y otro semántico. En esta lección veremos la sintaxis del lenguaje de la lógica proposicional. La sintaxis de la lógica proposicional está formada por una gramática y un alfabeto. El primero consta de símbolos, los cuales se dividen en tres categorías: signos lógicos, no lógicos y signos de puntuación. Estos últimos pueden ser prescindibles, los símbolos lógicos y los no lógicos son necesarios.
La gramática, por su parte consiste en un conjunto de reglas que nos permite generar fórmulas del lenguaje a partir de otras fórmulas. Para entender la noción de fórmula hemos de introducir previamente los símbolos del alfabeto del lenguaje de la lógica proposicional. Este consta de:
1. Letras proposicionales (símbolos no lógicos). No hay un número determinado. Para los fines de este curso de lógica, estipularemos las letras “p”, “q”, “r” y “s” como nuestras letras proposicionales.
2. Conectivas (símbolos lógicos). ̚ , →, ↔, ˄, ˅
3. Signos de puntuación. Paréntesis ( ).
De las conectivas, la primera se llama negación y es una conectiva monaria. El resto son conectivas binarias. A continuación veremos el nombre de cada una y cómo se leen.
“ ̚ “ se llama negación y se lee “no”
“→” se llama condicional y se lee “si…entonces”.
“↔” se llama bicondicional y se lee “si y solo si”.
“˄” se llama conjunción y se lee “y”.
“˅” se llama disyunción y se lee “o”.
Un alfabeto para un lenguaje de primer orden de tipo
Una FBF es una tautología si toma el valor de verdad bajo cada una de las posibles asignaciones de valores de verdad a las variables de enunciado que aparecen en ella.
a una FBF en la que intervengan n variables de enunciado diferente (siendo n cualquier número natural) le corresponderá una función de verdad de n argumentos, y la tabla de verdad tendrá 2n filas, una para cada una de las posibles combinaciones de valores de verdad para las variables de enunciado. Nótese además que existen funciones de verdad distintas de n argumentos, que corresponden a las maneras posibles de disponer los 1’s y los 0’s en la última columna de una tabla de verdad de 2n filas. Esta claro que el número de formas enunciativas que se pueden construir utilizando n variables de enunciados es infinito, así que formas enunciativas distintas pueden corresponder a una misma función de verdad.
Las tautologías son lógicamente necesarias. Las contradicciones son lógicamente imposibles. Las contingencias son lógicamente posibles, pero se clasifican en:
a) posibles o imposibles empíricamente y
b) posibles o imposibles técnicamente. Lo empíricamente imposible en el pasado puede llegar a ser posible en el futuro, dependiendo del desarrollo de la ciencia.
1. Todos los actores son famosos.
a) D = las personas A(-): - es acto
r F(-): - es famoso
∀x[A(x) −→ F(x)]
b) D = los actores
F(-): - es famoso
∀xF(x)
2. Algunos padres son responsables.
a) D = las personas
P(-): - es padre
R(-): - es responsable
∃x[P(x) ∧ R(x)]
b) D = los padres
R(-): - es responsable ∃xR(x)
3. Todos los miembros son padres o son maestros.
a) D = las personas
M(-): - es miembro
P(-): - es padre
MA(-): - es maestro
∀x[M(x) −→ P(x) ∨ MA(x)]
b) D = los miembros
P(-): - es padre
MA(-): - es maestro
∀x[P(x) ∨ MA(x)]
4. Algunos polıticos son incompetentes o son corruptos. 1
a) D = las personas
P(-): - es polıtico
I(-): - es incompetente
C(-): - es corrupto
∃x[P(x) ∧ (I(x) ∨ C(x))]
∃x[(P(x) ∧ I(x)) ∨ (P(x) ∧ C(x))]
∃x¬[P(x) −→ ¬(I(x) ∨ C(x))]
b) D = los polıticos
I(-): - es incompetente
C(-): - es corrupto
∃x[I(x) ∨ C(x)]
5. Las manzanas y los platanos son nutritivos.
a) D = las frutas
M(-): - es manzanza
P(-): - es platano
N(-): - es nutritivo
∀x[M(x) ∨ P(x) −→ N(x)]
∀x[(M(x) −→ N(x)) ∧ (P(x) −→ N(x))]
b) D1 = las manzanas
(x) D2 = los platanos
(y) N(-): - es nutritivo
∀xN(x) ∧ ∀yN(y)
6. Algunas frutas y verduras son nutritivas.
a) D = los alimentos
F(-): - es fruta
V(-): - es verdura
N(-): - es nutritivo
∃x∃y[F(x) ∧ V (y) ∧ N(x) ∧ N(y)]
∃x[F(x) ∧ N(x)] ∧ ∃x[V (x) ∧ N(x)]
∃x[(F(x) ∨ V (x)) ∧ N(x)]
b) D1 = las frutas
(x) D2 = las verduras (y) N(-): - es nutritivo
∃xN(x) ∧ ∃yN(y)
7. Si algo anda mal, entonces todos se quejan.
D1 = las cosas (x)
D2 = las personas (y)
M(-): - anda mal 2
Q(-): - se queja
∃xM(x) −→ ∀yQ(y)
8. Luis es Guapo.
D = las personas
G(-): - es guapo G(l)
9. a) Pedro es amigo de todos.
b) Algunos son amigos de Pedro.
c) Todos son amigos de todos.
D = las personas
A(-,-): - es amigo de -
a) ∀xA(p, x)
b) ∃xA(x, p)
c) ∀x∀yA(x, y)
10. Solo los ejecutivos llevan cartera.
D = las personas
E(-): - es ejecutivo
C(-): - lleva cartera
∀x[C(x) −→ E(x)] ∀x[¬E(x) −→ ¬C(x)]
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